M द्रव्यमान को एक पतली एकसमान वलयाकार, डिस्क (चित्र देखिए) की बाह्य एवं आन्तरिक त्रिज्याएँ क्रमशा: 4R तथा 3R है एक एकांक द्रव्यमान को डिस्क की अक्ष पर स्थित बिन्दु P में अनन्त तक ले जाने में किया गया कार्य है-

Options

A. `(2GM)/(7R)(4sqrt2-5)`
B. `-(2GM)/(7R)(4sqrt2-5)`
C. `(GM)/(4R)`
D. `(2GM)/(5R)(sqrt2-1)`

Answer

A

Explanation

वलयाकार डिस्क को हम अनेक संकेन्द्री वलयो से निर्मित मान सकते है माना इनमे से एक वाले की त्रिज्या x तथा सूक्ष्म चौड़ाई dx है तब वाले का द्रव्यमान
`dM=M/(pi(4R)^2-(3R)^2)xx2pixxdx`
इस वाले के कारण बिंदु P पर विभव
`dV_p=-(GdM)/(sqrt(16R^2+x^2))`
वलयाकार डिस्क के कारण बिंदु P पर विभव

`VP=int_(3R)^(4R)-(GdM)/(sqrt(16R^2+x^2)),` जहाँ
`dm=M/(pixx7R^2)xx2pixxdx`
`=-(2GM)/(7R^2)int_(3R)^(4R)-(Gdx)/(sqrt(16R^2+x^2))`
`=-(2GM)/(7R^2)[[16R^2+x^2]^(1//2)]_(3R)^(4R)`
`-(2GM)/(7R^2)[sqrt(32R^2-25R^2)]`
`=-(2GM)/(7R)[4sqrt2-5]`
`=V_oo-V_P=V_P=(2GM)/(7R)[4sqrt2-5]`