यदि L लम्बाई की छड़ का रेखीय घनत्व `lamda_(x)=A+Bx` है तब इसका द्रव्यमान केंद्र क्या होगा?

Explanation

माना कि छड़ की लम्बाई x-अक्ष के अनुदिश है तथा मूल बिन्दु छड़ के एक सिरे पर चित्र में दर्शाये अनुसार है। चूंकि छड़ x-अक्ष के अनुदिश है, इसलिए `y_(CM)=0` तथा `Z_(CM)= 0` अर्थात् द्रव्यमान केन्द्र छड़ पर होगा। अब माना छड़ का एक dx लम्बाई का खण्ड मूल बिन्दु से x दूरी पर है। तब इस खण्ड का द्रव्यमान
`dm = lambda dx= (A+Bx) dx ` अंत
`x_+(CM)= (int_(0)^(L)xdm)/(int_(0)^(L)dm)=(int_(0)^(L)x(A+Bx)dx)/(int_(0)^(L)(A+Bx)dx)=((AL^(2))/(2)+(BL^(3))/(3))/(AL+(BL^(2))/(2))`
`=(L(3A+2BL))/(3(2A+BL))`

(i) यदि छड़ का घनत्व एकसमान है तो `lambda =A`= नियत तथा B = 0 तो `X_(CM) = L//2`
(ii) यदि छड़ का घनतव x के साथ रेखीय रूप से परिवर्तित । होता है तो `lambda = Bx` तथा A=0 तो `x_(CM)=2L//3`