दो समांगी ठोस गोले समान त्रिज्या (R) तथा भिन्न द्रव्यमान M तथा 4M चित्रानुसार केन्द्र से केन्द्र के बीच की दूरी 6 R पर रखे गए हैं। दोनों गोलों को स्थिर लटकाया गया है। m द्रव्यमान के प्रक्षेप्य को M द्रव्यमान के गोले की सतह से दूसरे गोले के केन्द्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। N वह बिन्दु है, जहाँ परिणामी गुरुत्वाकर्षण शून्य है।

उपरोक्त स्थिति के सन्दर्भ में कॉलम I में दिए पदों को कॉलम II में दिए पदों से मिलान कर नीचे दिए गए कूटों में से सही कूट का चुनाव कीजिए।

Options

A. `{:(A,B,C),(1,2,3):}`
B. `{:(A,B,C),(3,2,1):}`
C. `{:(A,B,C),(2,1,3):}`
D. `{:(A,B,C),(3,1,2):}`

Answer

C

Explanation

प्रक्षेप्य पर दो गोलों के परस्पर विरोधी गुरुत्वीय बल कार्य करते हैं। अतः रेखा OCपर एक बिन्दु ऐसा होना चाहिए, जहाँ `F_("बाह्य")=0` अर्थात् परिणामी बाह्य बल, गुरुत्वाकर्षण बलों के कारण विलुप्त हो जाता है।
यह बिन्दु उदासीन बिन्दु N कहलाता है। माना यह बिन्दु O से r दूरी पर हैं
`:.ON=r`

`F_(1)=F_(2)`
`implies(GmM)/(r^(2))=(Gm(4M))/((6R-r)^(2))`
`impliesr=2R` या `-6R`
उदासीन बिन्दु = - 6R संगत नहीं है। इस प्रकार, `ON= r=2R`
प्रक्षेप्य को प्रक्षेपित करने के लिए M से न्यूनतम गति है।
प्रक्षेप्य को न्यूनतम घात के साथ बिन्दु N में प्रक्षेपित करने के लिए यह आवश्यक है, कण को इतनी गति से प्रक्षेपित करते हैं जिससे यह N तक पहुँचने में असमर्थ हो। N के बाद, .प्रक्षेप्य 4M के द्वारा आकर्षित होगा।
उदासीन बिन्दु पर गति शून्य तक जाती है।
अर्थात् `v_(N)=0`
N पर कण की कुल ऊर्जा `=E_(N)`
`impliesE_(N)=M` के कारण GPE + 4M के कारण GPE,
`E_(N)=(-GmM)/(2R)-(4GMm)/(4R)" "......(i)`
यान्त्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धान्त से,
`=-(GMm)/(2R)-(4GMm)/(4R)`
`impliesv=sqrt((3GM)/(5R))impliesv_("न्यूनतम")=sqrt((3GM)/(5R))`
माना `v_(f)` वह चाल है, जिससे प्रक्षेप्य द्वितीय गोले से मिलता है। ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धान्त को लागू करने पर,
`v_(f)=sqrt((27GM)/(5R))`