एक दिए गए रेखाखंड के लंब समद्विभाजक (लंबार्धक) की रचना करना।

Explanation

एक रेखाखंड `AB` दिया है। हमें इसके लंब समद्विभाजक की रचना करना है।





रचना के चरण :

चरण 1 : `A` और `B` को केन्द्र मानकर, `1/2 AB` से अधिक त्रिज्या लेकर रेखाखंड `AB` के दोनों ओर (एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए) चाप लगाइए।

चरण 2 : मान लीजिए कि ये चाप एक दूसरे को `P` और `Q` पर प्रतिच्छेद करते हैं। `PQ` को मिलाइए (देखिए आकृति।

चरण 3 : मान लीजिए `PQ`, `AB` को बिन्दु `M` पर प्रतिच्छेद करती है,
तब रेखा `PMQ`, `AB` का अभीष्ट लंब समद्विभाजक है।

व्याख्या : आइए हम देखें कि यह विधि किस प्रकार AB का लंब समद्विभाजक देती है।

`A` और `B` को `P` और `Q` से मिलाइए जिससे `AP`, `AQ`, `BP` तथा `BQ` प्राप्त होते हैं।

त्रिभुजों `PAQ` तथा `PBQ` में,

`AP = BP` (समान त्रिज्या वाले चाप)

`AQ = BQ` (समान त्रिज्या वाले चाप)

`PQ = PQ` (उभयनिष्ठ)

अतः, `triangle PAQ ~= triangle PBQ` (SSS नियम)

इसलिए, `angle APM = angle BPM` (CPCT)

अब त्रिभुजों `PMA` तथा `PMB` में,

`AP = BP`

`PM = PM` (उभयनिष्ठ)

`angle APM = angle BPM` (रचना 11.1 से)

अतः, `Δ PMA ~= ΔPMB` (SAS नियम)

इसलिए, `AM = BM` और `angle PMA = angle PMB` (CPCT नियम)

क्योंकि `angle PMA + angle PMB = 180^@` (रैखिक युग्म अभिगृहीत)

हम पाते हैं:

`angle PMA = angle PMB = 90^@`

अत: `PM`, अर्थात् ` PMQ`, रेखाखंड `AB` का लंब समद्विभाजक है।