नगण्य द्रव्यमान की एक पतली छड़ जिसका परिच्छेद-क्षेत्रफल `5 xx 10^(-6)` मीटर है, एक सिरे से ऊर्ध्वाधर लटकी है। 100°C ताप पर इसकी लम्बाई 1.0 मीटर है। छड़ को 0°C तक ठण्डा किया जाता है, परन्तु इसके निचले सिरे से एक द्रव्यमान लटकाकर इसे सिकड़ने से रोका जाता है। ज्ञात कीजिए-(i) लटकाया गया द्रव्यमान तथा (ii) छड़ में संग्रहीत ऊर्जा दिया है, छड के लिए यंग गणांक= `2 xx 10^(11)` न्यूटन/मीटर, ऊष्मीय प्रसार गुणांक = `10^(-5) K^(-1)` तथा g = 10 न्यूटन/किग्रा।

Explanation

(i) माना छड़ के निचले सिरे पर M द्रव्यमान लटकाकर उसे सिकुड़ने से रोका जाता है। छड़ को ठण्डा करने के कारण छड़ में उत्पन्न सिकुड़न `l = Lalpha Deltat`
अत: छड़ में उत्पन्न विकृति `I/L = alphaDeltat`
माना इस विकृति के कारण छड़ में T तनाव बल उत्पन्न होता है, तब `T/A = YI/L` अथवा `T = YA I/L`
चूँकि भार Mg छड़ को सिकुड़ने से रोकता है, अत: यह भार छड़ में उत्पन्न तनाव बल T के बराबर होगा। अत:
`Mg = YAl/L = YA a Deltat`
अत: लटकाया गया द्रव्यमान `M =(YA)/g alpha Deltat` यहाँ यंग गुणांक `Y = 2 xx 10^(11)" न्यूटन/मीटर"^(2)`, परिच्छेद क्षेत्रफल `S = 5 xx 10^(-6)` मीटर,
ऊष्मीय प्रसार गुणांक `a = 10^(-5) K^(-1)`
ताप परिवर्तन At = (100-0)°C = 100°C = 100 K अतः लटकाया गया द्रव्यमान `M = (2 xx 10^(11) "न्यूटन/मीटर"^2 xx 5 xx 10^(-6) m^(2))/(10) xx 10^(-5) K^(-1) xx 100 K = 100` किग्रा।
(ii) छड़ में संगृहीत ऊर्जा `U= 1/2 Y (alphaDeltat)^(2) xx AL`
`=1/2 xx 2 xx 10^(11) xx (10^(-5) K^(-1) xx 100 K)^(2) xx 5 xx 10^(-6) m^(2) xx 1.0 m = 0.5`