ग्राफीय विधि से एकसमान त्वरण से गतिमान वस्तु के अक्ष लिए गति की समीकरणों की उत्पत्ति कीजिए
(i) ` " " v= u+ at `
(ii) ` " " s= ut +(1)/(2) at^(2)`
(iii)`" " v^(2)=u^(2) +2as.`

Explanation

ग्राफीय विधि से गति की समीकरणों की उत्पत्ति- माना कोई वस्तु ॥ वेग तथा नियत त्वरण a से चलना प्रारम्भ करती है तथा । क्षण पर वस्तु का वेग हो जाता है तथा वस्तु द्वारा तय कुल दूरी है। तब वस्तुं के वेग-समय ग्राफ खींचने पर चित्रानुसार ग्राफ प्राप्त होता है।
(i) गति की प्रथम समीकरण-(वेग-समय सम्बन्ध)
मानाt = 0 क्षण पर वस्तु का वेग OB=u
क्षण t पर वस्तु का वेग = OE =v
` because `वेग-समय ग्राफ का ढाल वस्तु का त्वरण प्रदर्शित करता है।
` वास्तु का त्वरण" " (a) = (CA)/(BC) = (OE-OB) /(OD)`
` " " a= (v-u)/(t) `
या `" " v-u = at `
` " " v=u+at`
(ii) गति की द्वितीय समीकरण-(समय-स्थिति सम्बन्ध)
माना t = 0 से t समय तक वस्तु s दूरी तय करती है, तब वेग-समय ग्राफ में t =0 से t समय तक घिरा क्षेत्रफल वस्तु द्वारा तय की गयी दूरी को प्रदर्शित करेगा। अतः
वस्तु द्वारा चली गयी दूरी ` s= BODC ` का क्षेत्रफल ` Delta ABC `का क्षेत्रफल
` " " =OB xx OD + (1)/(2) xx AC xx BC " " [because AC = v-u =at]`
` " " = u xx t +(1)/(2) at xx t`
` " " =ut +(1)/(2) at ^(2)`
` " " s= ut + (1)/(2) at^(2)`
(iii) गति की तृतीय समीकरण-(स्थिति वेग सम्बन्ध) . .. वस्तु द्वारा : समय मे तय की गयी दूरी (s) = समलम्ब चतुर्भुज ADOB का क्षेत्रफल
` " " = (1)/(2) ` (समान्तर भुजाओं का योग) `xx ` लम्बवत् दूरी
` " " = (1)/(2) (OB+DA)xx OE `
` " " = (1)/(2) (u+v) xx t`
गति की प्रथम समीकरण से, ` " " v= u + at`
या ` t= ((v-u)/(a)) ` रखने पर,
तब `" " s= (1)/(2) (v+u) ((v-u))/(a) `
` " " 2as = (v+ u) (v-u) =v^(2) -u^(2)`
या ` " " v^(2) = u^(2) + 2as `