गैलीलियो के विषम अंक संबंधित नियम के अनुसार- "विरामावस्था से गिरती हुई किसी वस्तु द्वारा समान समय अंतरालों में चली गई दूरियाँ एक-दूसरे से उसी अनुपात में होती हैं जिस अनुपात में एक से प्रारम्भ होने वाले विषम अंक अर्थात 1 : 3 : 5 : 7 : ..." इस कथन को सिद्ध कीजिए |

Explanation

विरामावस्था से गिरती वस्तु के लिए प्रारम्भिक वेग u = 0
t समय में चली गई दूरी `h = ut + (1)/(2) "gt"^(2)`
अथवा `h = (1)/(2) "gt"^(2)" "(because u = 0)`
गति के प्रथम t सेकण्ड में तय की गई दूरी
`h_(1) = (1)/(2) g (t)^(2) = ("gt"^(2))/(2)`
गति के प्रथम 2t सेकण्ड में तय की गई दूरी
`h_(2) = (1)/(2) g(2t)^(2) = (4"gt"^(2))/(2)`
अत: गति के दूसरे t सेकण्ड में तय की गई दूरी
`h. = h_(2) - h_(1)`
`= (4"gt"^(2))/(2) - ("gt"^(2))/(2) = ("3gt"^(2))/(2)`
गति के पहले 3t सेकण्ड में तय की गई दूरी
`h_(3) = (1)/(2) g(3t)^(2) = ("9gt"^(2))/(2)`
अत: गति के तीसरे t सेकण्ड में तय की गई दूरी
`h.. = h_(3) - h_(2)`
`= ("9gt"^(2))/(2) - ("4gt"^(2))/(2) = ("5 gt"^(2))/(2)`
अत: क्रमागत समान समय अंतरालों में तय की गई दूरियाँ
`h_(1) : h. : h.. : .... = ("gt"^(2))/(2) : ("3gt"^(2))/(2) : ("5gt"^(2))/(2):....`
= 1 : 3 : 5 : ...
अत: विरामावस्था से गिरती हुई वस्तु द्वारा समान समय अंतरालों में तय की गई दूरियाँ 1 : 3 : 5 : .... में होती हैं |