नगण्य द्रव्यमान वाली एक रस्सी, 20 किग्रा द्रव्यमान तथा 20 सेमी त्रिज्या के एक गतिपालक पहिये के रिम पर लपेटी हुई है। रस्सी पर 25 न्यूटन का एकसमान कर्षण बल लगाया जाता है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। गतिपालक पहिया एक क्षैतिज धुरी पर लगाया गया है, जिसके बियरिंगों में कोई घर्षण नहीं है।
(i) पहिये के कोणीय त्वरण की गणना कीजिए।
(ii) 2 मीटर रस्सी खुलने तक कर्षण बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
(iii) इस क्षण पर पहिये की घूर्णन गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
(iv) भाग (ii) व (iii) के उत्तरों की तुलना कीजिए।

Explanation

द्रव्यमान M= 20 किग्रा, त्रिज्या R = 20 सेमी = 0.20 मीटर, बल F = 25 न्यूटन
(i) गतिपालक पहिये का अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण
`I=1/2 MR^2` [यह एक डिस्क के रूप में होता है]
`=1/2 xx 20 xx (0.20)^2`
= 0.4 किग्रा-`"मीटर"^2`
कर्षण बल का घूर्णन अक्ष के परितः आघूर्ण
`tau = FR= 25xx0.20` = 5 न्यूटन-मीटर
बल-आघूर्ण `tau = l a` से,
पहिये का कोणीय त्वरण
`a = (tau)/(I)=(5)/(0.4)`
=12.5 रेडियन/`"सेकण्ड"^2`।
(ii) s = 2 मीटर रस्सी खुलने तक कर्षण बल द्वारा कृत कार्य
`W= F xx s = 25 xx 2` = 50 जूल।
(iii) अब तक पहिये का कोणीय विस्थापन
`theta =("खोली गई रस्सी की लम्बाई")/("त्रिज्या (R)")`
`=(2)/(0.20)` = 10 रेडियन
अतः `omega^2= omega_0^2 + 2a theta` से,
`omega^2=0^2+2xx12.5xx10`
= 250 `"रेडियन"^2//"सेकण्ड"^2`
अतः पहिये की घूर्णन गतिज ऊर्जा
`K_("rot")=1/2 I omega^2 = 1/2 xx 0.4xx250` = 50 जूल
(iv) भाग (ii) व (iii) के उत्तरों से,
कर्षण बल द्वारा कृत कार्य = पहिये की घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि
इसका यह अर्थ है कि घर्षण बल की अनुपस्थिति के कारण ऊर्जा की हानि नहीं हुई है।