यदि किसी कृत्रिम उपग्रह का पृथ्वी के ठीक ऊपर चक्कर लगाने का परिक्रमण काल T है तथा पृथ्वी का घनत्व `rho ` है तो सिद्ध कीजिए कि `rho T^(2)` सार्वत्रिक नियतांक है। इस नियतांक का मान भी बताइए।`(G=6.67xx10^(-11)" मीटर "^(3)` /किग्रा- `" सेकण्ड"^(2)` )

Explanation

पृथ्वी तल से h ऊँचाई पर चक्कर लगाते उपग्रह का पृथ्वी के चारों ओर का परिक्रमण काल T है तो
` T^(2) = ( 4 pi^(2) (R_(e) + h)^(3))/( GM_(e))`
अत: `M_(e) = ( 4 pi ^(2) (R_(e) + h)^(3))/( G T ^(2))`
चूँकि उपग्रह पृथ्वी के ठीक ऊपर चक्कर लगा रहा है, अतः h की उपेक्षा करने पर,
अत: `M_(e) = ( 4 pi ^(2) R_(e)^(3))/( G T ^(2))`
यदि पृथ्वी का घनत्व `rho` है तो `M_(e) = (4)/(3) pi R _(e)^(3)rho` होगा,
अतः `( 4 pi)/( 3) R_(e)^(3) rho = ( 4 pi ^(2) R_(e) ^(3))/( G T ^(2))`
अथवा `rho T ^(2) = ( 3 pi)/( G)`
इस प्रकार `rho T^(2)` एक सार्वत्रिक नियतांक है
यहाँ `G = 6 . 67 xx 10 ^(-11) " मीटर "^(3)` /किग्रा ` " सेकण्ड "^(2)`
तथा `pi = 3 . 15`
अतः सार्वत्रिक नियतांक का मान
`rho T^(2) = ( 3 xx 3 . 14 )/( 6 . 67 xx 10 ^(-11))`
`= 1 . 41 xx 10 ^(11)` किग्रा - `" सेकण्ड "^(2)` / `" मीटर "^(3)`