कल्पना कीजिए कि कोई ऐसा ग्रह है जिसका व्यास तथा द्रव्यमान पृथ्वी के व्यास तथा द्रव्यमान के आधे हैं। इस ग्रह के तल पर दिन का ताप 800 K है। क्या इस ग्रह के वातावरण में ऑक्सीजन के अणु सम्भव हैं? दिया है : बोल्ट्समान नियतांक `k = 1.38 xx 10^(-23)` जूल/K, ऑक्सीजन के एक अणु का द्रव्यमान `= 5.3 xx 10^(-26)` किग्रा।

Explanation

माना पृथ्वी का द्रव्यमान `M_(e)` तथा त्रिज्या `R_(e)` है, जबकि ग्रह का द्रव्यमान `M_(p)` तथा त्रिज्या `R_(p)` हैं, तब
`M_(p) = (1)/(2)M_(e)` तथा `R_(p) = (1)/(2)R_(e)`
अत: पृथ्वी पर पलायन वेग `v_(e) = sqrt((2GM_(e))/(R_(e)))`
तथा ग्रह पर पलायन वेग `v_(p) = sqrt((2GM_(p))/(R_(p)))`
`= sqrt((2G(1)/(2)M_(e))/((1)/(2)R_(e)))`
`= sqrt((2GM_(e))/(R_(e))) = v_(e)`
परन्तु पृथ्वी पर `v_(e) = 11.2` किमी/सेकण्ड
`= 11.2 xx 10^(3)` मीटर/सेकण्ड
अतः ग्रह पर पलायन वेग `v_(p) = 11.2 xx 10^(3)` मीटर/सेकण्ड
अब परम ताप T पर एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा `= (3)/(2)kT`
अथवा `(1)/(2)m v_(rms)^(2) = (3)/(2)kT`
अत: `v_(rms) = sqrt((3kT)/(m))`
यहाँ `T = 800K, k = 1.38 xx 10^(-23)` जूल/K
तथा `m = 5.3 xx 10^(-26)` किग्रा
अत: ग्रह पर ऑक्सीजन अणुओं का वर्ग-माध्य-मूल चाल
`v_(rms) = sqrt((3 xx 1.38 xx 10^(-23) "जूल/K" xx 800K)/(5.3 xx 10^(-26) "किग्रा"))`
`= 7.9 xx 10^(2)` मीटर/सेकण्ड
`= 0.79 xx 10^(3)` मीटर/सेकण्ड
स्पष्ट है कि `v_(rms) llt v_(e)`
अतः ग्रह के वातावरण में ऑक्सीजन के अणु सम्भव हैं।