ग्राम द्रव्यमान की एक परखनली में, जिसका बाह्य व्यास 2 सेमी है, 10 ग्राम पारा नली की तली में डालने पर जल में ऊवधिर तैरती है। इस परखनली को जल में थोड़ा अन्दर दबाकर छोड़ दिया जाता है। सिद्ध कीजिए कि नली की गति सरल आवर्त गति होगी। उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। (जल के श्यानता के प्रभाव को नगण्य मान लीजिए)

Explanation

माना परखनली का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A है तथा साम्यावस्था में इसकी `l` लम्बाई जल में डूबी हुई है यदि जल का घनत्व `rho` है तो परखनली पर जल का उत्क्षेप
`F= `- हटाए गए जल का भार
- डूबा हुआ आयतन `xx rho xx g`
`=-A l rho g`(ऊपर की ओर)
यदि (परखनली + पारे) का द्रव्यमान m है तो
F + mg = 0`" "`(साम्यावस्था में)
अथवा `- Al rho g + mg= 0" "...(1)`
माना परखनली को नीचे दबाकर छोड़ने पर किसी क्षण इसका साम्यावस्था से नीचे की ओर विस्थापन y है, तब
उत्क्षेप `=-A(l+y) rho g `
अत: परखनली पर नेट बल `F =-A(l+y) rho g + mg`
`=- A y rho g " "` [समीकरण (1) से]
यदि परखनली का त्वरण `alpha` हैं तो `F = malpha` से,
परखनली का त्वरण `alpha = F/m = - (Ayrho g)/m = - omega^2 y` ,
जहाँ `omega^2 = (A rho g)/(m) ` (नियतांक)
अतः `alpha -y`
इस प्रकार त्वरण, विस्थापन के अनुक्रमानुपाती है तथा विपरीत दिशा में है, अत: परखनली की गति सरल आवर्त गति होगी। इसका आवर्तकाल
`T = (2pi)/(omega) = 2pi sqrt((m)/(A rhog))`
यह परखनली के दोलनकाल का सूत्र है। यहाँ (परखनली + पारे) का द्रव्यमान m = 0.018 किग्रा,
अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = `pi r^2` =`3.14xx (0.01 "मीटर)"^2`
जल का घनत्व `rho=1xx10^3 "किग्रा/मीटर"^3`
तथा गुरुत्वीय त्वरण g= 9.8 `"मीटर/सेकण्ड"^2` अतः `T= 2xx 3.14 sqrt((0.018 "किग्रा")/(3.14 xx10^(-4) "मीटर"^2 xx1 xx10^3 "किग्रा/मीटर"^3 xx 9.8 "मीटर/सेकण्ड"^2))`
= 0.48 सेकण्ड (लगभग)।