एकसमान परिच्छेद की ऊर्ध्वाधर U-ट्यूब में 25 सेमी की ऊँचाई तक पानी भरा है। पानी को U-ट्यूब की एक भुजा में थोड़ा दबाकर छोड़ दिया जाता है। दिखाइए कि इसके फलस्वरूप होने वाली पानी के तल की गति सरल आवर्त गति होगी। इसके दोलनकाल की गणना कीजिए।

Explanation

साम्य स्थिति में U-ट्यूब की दोनों भुजाओं में जल के तलों की ऊँचाइयाँ बराबर होंगी। माना एक भुजा में जल के तल को थोड़ा दबाकर छोड़ने पर इस भुजा में जल का तल साम्य स्थिति की तुलना में y दूरी नीचे है।
चूँकि साम्य स्थिति में दोनों भुजाओं में जल के तल की ऊँचाई 25 सेमी है, अत: इस दशा में इन भुजाओं में जल के तल की ऊचाइया क्रमश: (25-y) तथा (25+y) सेमी होंगी।
अत: दूसरी भुजा की तुलना में, एक भुजा में चढ़े जल-स्तम्भ की अतिरिक्त ऊँचाई = (25+y)-(25-y) = 2y
यदि नली की एकांक लम्बाई में भरे जल का द्रव्यमान m है तो इस अतिरिक्त स्तम्भ का भार `2y xx mg `जल को दूसरी भुजा की ओर धकेलता है।
अतः प्रत्यानयन बल F = -2mgy
ऋण चिह्न यह प्रदर्शित करता है कि बल, विस्थापन y के विपरीत दिशा में है |
नलिका में भरे जल का कुल द्रव्यमान = दोनों भुजाओं में जल-स्तम्भ की कुल लम्बाई `xx` एकांक लम्बाई का द्रव्यमान
`M=2xx25xxm = 50m`
यदि निकाय का त्वरण है तो न्यूटन के नियम से,
Ma= F
अथवा `(50m) alpha= - 2mgy`
अथवा `alpha = -((g)/(25)) y`
`because g.(25)` =नियतांक है, अत: त्वरण विस्थापन के अनुक्रमानुपाती तथा उसके विपरीत दिष्ट है। अत: जल के तल की गति सरल आवर्त गति है।
समीकरण `alpha = -((g)/(25))y` की तुलना `alpha = - omega^2 y `से करने पर,
`omega^2 = g/(25)`
अथवा `omega = sqrt((g)/(25))`
अत: दोलनकाल T =`(2pi)/(omega)`
`=2xx3.14 sqrt((25)/(g))`
`2xx 3.14 sqrt(("25 सेमी")/("980 "सेमी/सेकण्ड"^2))`
= 1.00 सेकण्ड।