श्रेणीक्रम में संयोजित LCR परिपथ के प्रतिबाधा का व्यंजक प्राप्त करें।

Explanation

L-C-R परिपथ के प्रतिबाधा का व्यंजक-चित्रानुसार माना कि L, C तथा R श्रेणीक्रम में जुड़े है जिनके सिरों के बीच प्रत्यावर्ती विद्युत वाहक बल `E_(V)` लगाया गया है तो परिपथ में धारा का तात्कालिक मान ज्ञात करता है। माना कि L-C-R परिपथ में `I_(V)` धारा का वर्ग माध्य मूल मान है। इसमें `V_(L),V_ (C)` तथा `V_(R)` क्रमशः प्रेरकत्व L, धारिता C तथा प्रतिरोध R के वर्ग माध्य मूल वोल्टता है।
R में धारा के वर्ग मान्य मूल्य मान के परिमाण L तथा C के समान है। स्त्रोत के प्रत्यावर्ती धारा के वर्ग माध्य मूल मान `E_(V),V_(L),V_(C)` तथा `V_(R)` के सदिश योगफल के बराबर है। चित्र द्वारा धारा तथा वोल्टता का फेजर आरेख प्रदर्शित है। `V_(R)` तथा `I_(V)` कला में है। इसलिए दोनों `V_(R)` तथा़ `I_(V)OX` की दिशा में प्रदर्शित है। `V_(R)` तथा `I_(V)` कला में है। इसलिए दोनों `V_(L),OY` की दिशा में प्रदर्शित है। `V_(I)`,कला कोण `pi//2`कला कोण से है इसलिए `V_(C),OY` की दिशा में प्रदर्शित है।
OA,OB तथा OC क्रमशः `V_(R),V_(L)` तथा `V_(C)`1, के परिणामों द्वारा प्रदर्शित किये गये है। जब `V_(L)gtV_(C)` तो `ODV_(L)-V_(C)` द्वारा प्रदर्शित है जो `V_(L)` तथा `V_(C)` का परिणामी हैं अंत में OE,OA तथा OD के परिणामी को `E_(V)` के रूप में प्रदर्शित करता है। इस प्रकार फेजर आरेख से हम पाते हैं कि
`OE=sqrt(OA^(2)+OD^(2))`या `E_(V)=sqrt(V_(R)^(2)+(V_(L)-V_(C))^(2))`
अब `V_(R)=I_(V)R,V_(L)=I_(V)X_(L)` तथा `V_(C)=I_(V)X_(C)`
जहां `X_(L)=omegaL` तथा `X_(C)=1/(omegaC)`
इसलिए `E_(V)=sqrt((I_(V)R)^(2)+(I_(V)X_(L)-I_(V)X_(C))^(2))=I_(V)sqrt(R^(2)+(X_(L)-X_(C)^(2))`
या `I_(V)=E/(sqrt(R^(2)+(X_(L)-X_(C))^(2))=(E_(1))/(sqrt(R^(2)+(omegaL-1/(omegaC))^(2))`........i
पुनः फेजर आरेख से हम पो है कि L-C-R परिपथ में `E_(V)` कला कोण `phi` से `I_(V)` आगे है `(V_(L)gtV_(C)` या `X_(L)gtX_(C)` की स्थिति मे )
`tan phi=(AE)/(OA)=(V_(L)-V_(C))/(V_(R))=(I_(V)X_(L)-I_(V)X_(C))/(I_(V)R)`
या `tan phi-(X_(L)-X_(C))/R=(omegaL-1/(omegaC))/R`.............2
माना कि `L-C-R` परिपथ का प्रतिबाधा Z है तब `I_(V)=(E_(V))/Z`.......3
समीकरण 1 तथा 3 से हम पाते हैं कि
`Z=sqrt(R^(2)+(X_(L)-X_(C))^(2))=sqrt(R^(2)+(omegaL-1/(omegaC))^(2))`