सरल रेखा ` x = (1)/(2) a `, द्वारा विभाजित वृत्त ` x ^(2) + y ^(2) = a ^(2) ` के भागो के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना ` x = (1)/(2) a `, रेखा वृत्त ` x ^(2) + y ^(2) = a ^(2) ` को P और Q बिंदुओं में काटती है |

इस प्रकार रेखा PQ द्वारा सम्पूर्ण वृत्त दो भागो PAQP तथा PBQP में विभाजित हो जाता है |
भाग PAQP का क्षेत्रफल ` = int _(a//2)^( a ) y dx `
` " " = int _(a//2) ^( a) sqrt ((a^2- x ^(2))) dx `
` " " = [(1)/(2) x sqrt (a ^(2) - x ^(2)) + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)((x)/(a))]_(a//2)^(a) `
`" " = [ (1)/(2) a sqrt ( a ^(2) - a ^(2))+ (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1) ((a)/(a))] - [ (1)/(2)((1)/(2) a ) sqrt((a ^(2) - (1)/(4) a ^(2))) + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1) (((1)/(2) a)/(a))] `
` " " = [0 + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1) (1) ] - [ (1)/(4) a. (1)/(2) a sqrt3 + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)( (1)/(2))] `
` " " = (1)/(2) a ^(2) (pi)/(2) - (1)/(8) a ^(2) sqrt (3) - (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)((1)/(2))] `
` " " = (1)/(2) a ^(2) (pi)/(2) - (1)/(8) a ^(2) sqrt 3 - (1)/(2) a ^(2) (pi)/(6) `
` " " = (pia^(2))/( 6 ) - (a ^(2)sqrt3)/(8) `
` " "= (a ^(2))/(24) [ 4pi - 3 sqrt 3 ] `
भाग PBQP का क्षेत्रफल
` " " = int _(-a) ^( a//2) y dx `
` " " = int _(-a ) ^(a//2) sqrt ( ( a ^(2) - x ^(2))) dx `
` " " = [ (1)/(2) x ( sqrt( a ^(2) - x ^(2) ) ) + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)((x)/(a))]_(-a)^(a//2) `
` " " = [ (1)/(2)((1)/(2) a ) sqrt ((a^(2) - (1)/(4) a ^(2))) + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)(((1)/(2) a )/(a)) ] - [ (1)/(2) (-a) sqrt ( ( a ^(2) - a ^(2))) + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1) ((-a)/(a)) ] `
` " " = [ (1)/(4) a (1)/(2) a sqrt 3 + (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1) ((1)/(2)) - { 0- (1)/(2) a ^(2) sin ^(-1)(1)}] `
` " " = (1)/(8) a ^(2) sqrt 3 + (1)/(2) a ^(2) (pi)/(6) + (1)/(2) a ^(2) (pi)/(2) `
` " " = (1)/(8) a ^(2) sqrt 3 + (pia^(2))/( 3 ) `
` " " = (a ^(2))/( 24) [ 8 pi + 3 sqrt3 ] .`
` therefore PAQP ` का क्षेत्रफल : PBQP का क्षेत्रफल
`" " = (a ^(2))/( 24) [ 4pi - 3 sqrt 3 ] : (a^(2))/( 24 ) [ 8 pi + 3 sqrt 3 ] `
`" " = ( 4pi - 3 sqrt 3 ) : ( 8 pi + 3 sqrt 3 ) ` .