प्रथम चतुर्थांश में वृत्त `x ^(2) + y ^(2) = 32 ` , रेखा ` y = x ` एवं x - अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|

Explanation

दिया है : `" " y = x " " `...(i)
और `" " x ^(2) + y ^(2)= 32 " " `... (ii)
या ` " " x ^(2) + y ^(2) = (sqrt(32))^(2) `
`" " x ^(2) + y ^(2) = ( 4 sqrt2)^(2) `
समीकरण (i) तथा (ii) से,

` " " x^(2) + x ^(2) = 32 `
` " " 2 x^(2)= 32 `
`" " x ^(2) = 16 `
` " " x = pm 4 `
जब x =4 , तब y = 4
जब x = -4 , तब y =-4
OAM का क्षेत्रफल = OABO का क्षेत्रफल + ABMA का क्षेत्रफल
` " " = int_0^(4) x dx + int _(4) ^( 4 sqrt2) sqrt ( 32 - x ^(2)) dx `
` " " = [ (x^(2))/(2)]_0^(4) + [ (x)/(2) sqrt ( 32 - x ^(2) ) + (32)/(2) xx sin ^(-1) ""(x)/(sqrt(32))]_(4)^(4sqrt2) `
`" " = (1)/(2) [ 16 -0] + [ (4sqrt2)/(2) sqrt(32 - 32) + 16 xx sin ^(-1)""(4sqrt2)/(4sqrt2)] - [(4)/(2) sqrt ( 32 - 16) + 16 xxsin ^(-1)""(4)/(4sqrt2)] `
` " " = 8 + 2 sqrt2 xx 0 + 16 xx sin ^(-1)(sin ""(pi)/(2)) - 2 sqrt(16) - 16 sin ^(-1)(sin ""(pi)/(4)) `
` " " = 8 + 0 + 16 xx (pi)/(2) - 2 xx 4 - 16 xx (pi)/(4) `
` " " = 8 + 0 + 16 xx (pi)/(2) - 2 xx 4 - 16 xx (pi)/(4) `
` " " = 8 + 8 pi - 8 - 4pi `
`" " = 4 pi ` वर्ग इकाई |