दिखाइए कि परवलयों ` y ^(2) = 4 ax ` तथा ` x ^(2) = 4ay ` के बीच का क्षेत्रफल `(16)/(3) a^(2) ` होगा|

Explanation

परवलयों के समीकरण `" " y ^(2) = 4ax `
और `" " x^(2) = 4ay `

समीकरण (1 ) से, `x = ( y^(2))/( 4a) ` समीकरण (2 ) में रखने पर
`" " ( y ^(2))/(4a) = 4ay `या ` y ^(4) = 64 a ^(3)y ` या ` y ^(4) - 64 a^(3) y = 0 `
या `" " y (y^(3) - 64 a ^(3)) = 0 rArr y = 0, 4a `
y के उक्त मान समीकरण (1 ) में रखने पर,
जब `" " y = 0 , ` तब ` x = 0 `
और जब `" " y = 4a, `तब ` x = 4a `
` therefore` वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु O(0,0) और P(4a, 4a) है|
P से x -अक्ष पर लम्ब PM डाला | यहाँ हमें रेखांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है |
` therefore " " ` अभीष्ट क्षेत्रफल ` = int_0^(4a) y dx ` [ y का मान समीकरण (1 ) से ]` - int _0^(4a) y dx `[ y का मान समीकरण (2 ) से ]
`" " = int _0^(4a) sqrt(4ax) dx - int _0^(4a) ((x^(2))/(4a)) dx `
`" " = 2sqrta int_0^(4a) x ^(1//2) dx - (1)/(4a) int_0^(4a) x ^(2)dx `
`" " = 2sqrta[ ( x ^(3//2))/(3//2)]_0^(4a) - (1)/(4a)[ (x ^(3))/(3)]_0^(4a) `
` " " = (4)/(3) sqrta. [(4a)^(3//2)-0]-(1)/(12a)[(4a)^(3) - 0]`
` " " = (4)/(3) sqrta. (8asqrta) - (1)/(12a).(64a^(3)) = ( 32a^(2))/(3) - (16a^(2))/(3) = (16a^(2))/(3)`