x - अक्ष के ऊपर तथा वृत्त ` x ^(2) + y ^(2) = 8 x ` एवं परवलय ` y ^(2) = 4x ` के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Explanation

दिया है : ` x ^(2) + y ^(2) = 8 x " " `... (i)
तथा ` " " y ^(2) = 4x " " `... (ii)
समीकरण (i) से, `" " x ^(2) + y ^(2) - 8x = 0 `
` " " x ^(2) - 8x + y ^(2) = 0 `
` " " x ^(2) - 8 x + y ^(2) + 16 - 16 = 0 `
` " " ( x - 4) ^(2) + y ^(2) = 16`.
समीकरण (i) तथा (ii) से,
`" " x^(2) + 4x = 8 x `
` " " x ^(2) = 4x `

y=4 तथा y = - 4
` " " x = 4`.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = `int_0^(4) sqrt (4x) dx + int_4^(8) sqrt ([16 - (x - 4)^(2)]) dx`
`" " = 2 int_0^(4) sqrtx dx + int_4^(8)sqrt([(4)^(2) - (x-4)^(2)]) dx `
`" " = 2[(2x^(3//2))/(3)]_0^(4) + [(x - 4)/(2) sqrt ( 16 - (x - 4) ^(2) ) + (16 )/( 2 ) sin ^(-1) ((x - 4)/(4))]_0^(8) `
` " " = (4)/(3) [ 2^(2xx(3)/(2))/(3)]_0^(4) + [ (x - 4)/(2) sqrt ( 16 - (x - 4) ^(2)) + 8 sin ^(-1) (( x - 4 ) /(4))]_4^(8) `
`" " = (4)/(3) xx 8 + [2sqrt(16-16) + 8 sin ^(-1)(sin""(pi)/(2))] - [0 + 8 sin ^(-1) (sin 0 )] `
`" " = (32)/(3) + 4pi ` वर्ग इकाई |