सिद्ध कीजिये कि बिंदु `(3,-1,1)` तथा समतलों `vecr.(2hati-3hatj+hatk)=5` तथा `vecr.(hati+5hatj-2hatk)=1` की प्रतिछेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण `vecr.(3hati+2hatj-hatk)=6` है।

Explanation

समतल का व्यापक समीकरण
`[vecr.(2hati-3hatj+hatk)-5]+lambda(hati+5hatj-2hatk)-1]=0`
या `vecr.[(2hati-3hatj+hatk)+lambda(hati+5hatj-2hatk)]=5+lambda`
या, `vecr.[(2+lambda)hati-(3-5lambda)hatj+(1-2lambda)hatk]=5+lambda`
बिंदु `(3,-1,1)` का स्थिति सदिश `=(3hati-hatj+hatk)`
समतल इस बिंदु से होकर जाता है अतः `vecr=3hati-hatj+hatk` समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा।
अतः `(3hati-hatj+hatk).[(2+lambda)hati-(3-5lambda)hatj+(1-2lambda)hatk]=5+lambda`
`3(2+lambda)+(3-5lambda)+(1-2lambda)=5+lambda`
`6+3lambda+3-5lambda+1-2lambda=5+lambda`
`6+3+1-5=lambda-3lambda+5lambda+2lambda`
`5lambda=5`
`lambda=1`
`lambda=1` समीकरण (1 ) में रखने पर
`vecr.[(2+1)hati-(3-5)hatj+(1-2)hatk]=5+1`
या `vecr.(3hati+2hatj-hatk)=6`