समतलों `vecr.(hati+hatj+hatk)=6` और `vecr.(2hati+3hatj+4hatk)` और `vecr.(2hati+3hatj+4hatk)=-5` के प्रतिछेदन तथा बिंदु `(1,1,1)` से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये।

Explanation

यहाँ
`vecn_(1)=hati+hatj+hatk` और `vecn_(2)=(2hati+3hatj+4hatk)` और `d_(1)=6` और `d_(2)=-5` है।
`therefore vecr.(vecn_(1)+lambdavecn_(2))=d_(1)+lambdad_(2)`
`vecr.[hati+hatj+hatk+lambda(2hati+3hatj+4hatk)]=6-5lambda`
`vecr.[(1+2lambda)hati+(1+3lambda)hatj+(1+4lambda)hatk]=6-5lambda`
जहाँ `lambda` एक वास्तविक संख्या है।
`vecr=xhati+yhatj+zhatk` रखने पर,
`(xhati+yhatj+zhatk).[(1+2lambda)hati+(1+3lambda)hatj+(1+4lambda)hatk]=6-5lambda`
या `(1+2lambda)x+(1+3lambda)y+(1+4lambda)z=6-5lambda`
या `(x+y+z-6)+lambda(2x+3y+4z+5)=0`
अब प्रश्नानुसार अभीष्ट समतल बिंदु (1,1,1) से जाते है, अतः बिंदु, समीकरण (ii) को संतुष्ट करेगा अर्थात
`(1+1+1-6)+lambda(2+3+4+5)=0`
या `lambda=3/14`
`lambda` के इस मान का समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
`vecr.[(1+3/7)hati+(1+9/14)hatj+(1+6/7)hatk]=6-5/14`
या `vecr.[10/7hati+23/14hatj+13/7hatk]=69/14`
या `vecr.(20hati+23hatj+26hatk)=69`