गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि `3 .6 +6 .9 +9 .12 +…….. +3 n (3n +3 )=3n (n +1 )(n +2 ).`

Explanation

दिए हुए सूत्र के दोनों पक्षों में n =1 रखने पर ,
`3.1(3.1+3)=3.1(1+1)(1+2)implies 3(6)=3(2)(3)`
`implies18=18` जो सत्य है ।
अंत : दिया हुआ सूत्र n =1 के लिए सत्य है ।
मान लिया हुआ सूत्र n =k के लिए सत्य है , तब दिये हुए के दोनों पक्षों में n =K रखने पर प्राप्त निम्निलिखित परिणाम सत्य है -
`3.6+6.9+9.12+....++3k(3k+3)=3k(k+1)(k-2)`
दिये हुए के बाएं पक्ष में दी हुई श्रेणी के n वे पद 3n (3n +3 )में n =k -1 रखने पर 3 (k +1 )(3k +6 ) प्राप्त होता है जिसे समीकरण (i ) के दोनों पक्षों में जोड़ने पर ,
`3.6+6.9+9.12+...+3k(3k+3)+3(K+1)(3k+6)`
`=3k(k+1)(k+2)+3(k+1)(3k+6)`
`=3k(k+1)(k+2)+9(k+1)(k+2)`
`=3(k+1)(k+2)(k-3)`
इससे प्रकट होता है कि दिया हुआ n =K +1 के लिए भी सत्य है ।
अंत : गणितीय आगमन सिद्धान्त से यह प्रत्येक `n in N ` के लिए सत्य है ।