`n (n ^(2 )-1 )` विभाज्य है -

Options

A. `34` से
B. `78` से
C. `60` से
D. `24` से

Answer

D

Explanation

`:'` n एक विषम धन पूर्णांक है , तब n =2m -1 रखने पर ,
तब `n(n^(2)-1)=(2m-1)[(2m-1)^(2)-1]`
`=(2m-1)(4m^(2)4m)=4m(m-1)(2m-1)`
अब हम दिखायेंगे कि प्रत्येक धन पूर्णांक m के लिए `4m (m -1 )(2m -1 ) ,24 ` से विभाज्य है
1. माना `m=1,`तब
`4m(m-1)(2m-1)=4(1)(0)(2-1)=4(1)(0)=0`
`:'`0 सदैव 24 से विभाज्य है ।
`therefore` दिया हुआ कथन m =1 ले लिए सत्य है ।
2. मान लिया कि दिया हुआ कथन m =k ले लिए सत्य है
`therefore 4k(k-1)(2k-1),24 ` से विभाज्य है ।
`3. m=k+1` लेने पर
`4m(m-1)(2m-1)=4(k+1-1)[2(k+1)-1]`
`=4(k+1)k.(2k+1)`
`=4k(2k^(2)+3k+1)`
`=4k[(2k^(2)-3k+1)+6k]`
`=4k[(k-1)(2k-1)+6k]`
`=4k(k-1)(2k-1)(2k-1)+24 k^(2)`
`:' (k1)(2k-1)` और `24K^(2)` दोनों ही 24 से विभाज्य है ।
`:'` इनका योगफल `4k(k-1)(2k-1)+24k^(2)` भी24 से विभाज्य है
अर्थात `4m(m-1)(2m-1),24` से विभाज्य है यदि`m=k+1.`
`therefore` दिया हुआ कथन `m=k+1` के लिये भी सत्य है ।
अंत : गणितीय आगमन सिद्धांत से `4m(m-1)(2m-1)` प्रत्येक `n in N` के लिये 24 से विभाज्य है अथवा `n(n^(2)-1)` प्रत्येक विषम धन पूर्णांक n के लिये 24 से विभाज्य है ।