सिद्ध किजिये कि `7 ^(2n )+2 ^(3n -3 )। 3 ^(n -1 )` प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिये 25 से विभाज्य है ।

Explanation

`n =1 ` लेने पर,
`7^(2n)+2^(3n).3^(n-1 ) =7^(2)+2^(0).3^(0) =49 +11=4.9 +1`
= 50 जो 25 से विभाज्य है ।
`therefore ` दिया हुआ कथन n =1 के लिये सत्य है ।
2 . मान लिया कि दिया हुआ कथन n =k के लिये सत्य है ।
`therefore 7^(2k)+2^(k-1),25` से विभाज्य है ।
` 3 . n =K +1` लेने पर ,
`7^(2n)+2^(3n-3).3^(n-1)=7^(2k+2)+2^(3k.3^(k)`
`=7^(2k).7^(2)+(2^(3k-3).2^(3))(3^(k-1).3)`
`=49.7^(2k)+(8.2^(3k-3).(3^(k-1).3)`
`=49.7^(2k)+24(2^(3k-3.3^(n-1))`
`=25.7^(2k)+24(7^(2k+2^(3k-3).3^(k-1)))`
`:'` दाये पक्ष के दोनों पद अलग - अलग 25 से विभाज्य है
`therefore` इनका योगफल भी 25 से विभाज्य होगा ।
इससे प्रकट होता है कि `n =K +1` के लिये भी `7 ^(2n ) + 2 ^(3n -1 )।3 ^(n -1 ), 25 ` से विभाज्य है
अंत : गणितीय आगमन सिद्धांत से दिया हुआ कथन प्रत्येक `n in N ` के लिये सत्य है ।