गणितीय आगमन विधि से सिद्ध कीजिए कि `n (n +1 )(2n +1 ), 6 ` से पूर्णत : विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है ।

Explanation

दिया है :`n (n +1 )(2n +1 )` में
यदि n =1 हो
, `n(n+1)(2n+1)=1(1+1)2xx1+1)`
`=1xx2xx3`
`=6`
अंत : ` n =1` दिए हुए कथन के लिए सत्य है ।
माना `p (k ): k (k +1 )(2k +1 ),6 ` से विभाज्य है ।
अर्थात n =k के लिए p (n ) सत्य है ।
`p(k+1)=(k+1)(k-2)[2(k+1)+1]`
`=(k+1)(k+2)[(2k+1)+2]`
`=(k+2)(k+1)(2k+1)+2(k+1)(k+2)`
`=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1)(2k+1) +(k-1)(k+2)`
`=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)(k+2)`
`=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(2k+1+k+2)`
`=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)(k+1)`
`=p(k)+6(k+1)^(2),`
जो कि 6 से विभाज्य है । यदि p (k ) , 6 से विभाज्य है ।
अंत : `n in N ` के सभी मानो के लिए `n (n +1 ) (2n +1 ),6 ` से विभाज्य है ।