सभी पूर्णांक `n ge 1 ` ले लिए , सिद्ध कीजिए :
`1^(2)+2^(2)+3^(2) +………+n^(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1).`

Explanation

कथन 1 । दिए हुए सूत्र के दोनों पक्षों में n =1 रखने पर ,
`1^(2)=(1)/(6)(1)(1+1)(2.1+1)`
`implies 1=(1)/(6)(1)(2)(3)`
`implies 1=1`
जो सत्य है । `therefore ` दिया हुआ सूत्र n =1 के लिए सत्य है ।
कथन 2 . मान लिया कि दिया गया सूत्र n =k के लिए सत्य है ।
`therefore ` दिए हुए सूत्र में n =k रखने पर प्राप्त निम्निलिखित परिणाम सत्य है :
`1^(2)+2^(2)+3^(2)+....+k^(2)`
`=(1)/(6)k(k+1)(2k+1)`
कथन 3 . सूत्र के बाये पक्ष में दी गई श्रेणी के के n वे पद `n ^(2 )` में n =K +1 रखने पर `( K +1 )^(2 )` प्राप्त होता है जिसे समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में जोड़ने पर ,
`1^(2)+2^(2)+3^(2)+...+k^(2)+(k+1)^(2)=(1)/(6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)^(2)`
`=(1)/(6) (k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]`
`=(1)/(6)(k+1)(2k^(2)+7k+6)`
`=(1)/(6)(k+1)(k+2)(2k+3)`
`=(1)/(6)(k+1)[(k+1)-1][2(k+1)+1]`
इससे प्रकट है कि हुआ सूत्र n =K +1 के लिए सत्य है ।
अंत : गणितीय आगमन सिद्धांत से दिया हुआ सूत्र प्रत्येक `n in N ` के लिए सत्य है ।