सभी `n in N ` के लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
`1.3 +2.3^(2)+3.3^(2)+……….+1.3^(n)=((2n-1)3^(n+1)+3)/(4)`

Explanation

माना दिया गया कथन
`p(n) :1.3+2.3+^(2)+3.3^(3)+...................+1.3^(n)=((2n-1)3^(n+1)+3)/(4)`
कथन के बाये पक्ष में n =1 रखने पर ,
`n.3^(n)=1.3^(1)=1xx3=3`
दायाँ पक्ष : `((2n-1)3^(n+1)+3)/(4)=((2-1)3^(1+1)+3)/(4)`
`=(1(3)^(2)+3)/(4)=(12)/(4)=3`
`therefore`बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अंत : कथन p (n ) , n =1 के लिए सत्य है |
अब n =K रखने पर ,
बायाँ पक्ष : `k .3 ^(k )`
अब k के स्थान पर k + 1 रखने पर , इ
`(k+1).3^(k+1)`
से दोनों पक्षों में जोड़ने पर
`P(k+1):1.3 +2.3^(2)+3.3^(3)+............+K3^(3)+(k+1).3^(k+1)`
`=((2k-1)3k^(k+1)+3)/(4)`
दायाँ पक्ष :`((2k-1)3^(k+1)+3^(k+1)+3)/(4)+(k+1).3^(k+1)`
`=((2k-1)3^(k+1)+3+4(k+1).3^(k+1))/(4)`
` =(3^(K+1)[2k-1+4(k+1)+3])/(4)`
`=(3^(k+1)(6k+3)+3)/(4)=(3^(k+1).3(2k+1)+3)/(4)`
अंत : n =K +1 के लिए कथन p (n ) सत्य है ।
अर्थात p (k +1 ) सत्य है जबकि p (k ) सत्य है ।
अंत : गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा दिया गया कथन p (n ) सभी `n in N ` के लिए सत्य है ।