सभी `n in N ` ले लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
`(1)/(.1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+………+(1)/(n(n+1)(n+2))=(n(n+3))/(4(n+1)(n+2))`

Explanation

`(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+……..+(1)/(n(n+1)(n+2))=(n(n+3))/(4(n+1)(n+2))`
बायाँ पक्ष : `(1)/(n(n+1)(n+2))`
`n=1 `रखने पर ,
`(1)/(1(1+1)(1+2))=(1)/(1.2.3)=(1)/(6)`
दायाँ पक्ष :
`(n(n+3))/(4(n+1)(n+2))=(1(1+3))/(4(1+1)(1+2))=(1xx4)/(4xx2xx3)=(1)/(6)`
अंत: कथन p (n ) , n =1 के लिए सत्य है ।
मान लीजिए n =k के लिए p (n ) सत्य है अर्थात p (k ) भी सत्य है ।
`P(k) :(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+........+(1)/(k(k+1)(k+2))=(k(k+3))/(4(k+1)(k-2))`
जब k वां पद `=(1)/(k(k+1)(k+2))`
तब (k +1 ) वां पद `=(1)/((k+1)(k+2)(k+3))`
अंत: कथन के दोनों पक्षों में (k +1 ) वा पर जोड़ने पर ,
`p(k):(1)/(1.2.3)+(1)/(2.3.4)+(1)/(3.4.5)+......+(1)/(k(k+1)(k+2))+(1)/((k+1)(k+2)(k+3))`
`=(k(k+3))/(4(k+1)(k+2))+(1)/(k+1)(k+2)(k+3))`
दायाँ पक्ष :`(k(k+3))/(4(K+1)(k+2))+(1)/((k+1)(k+2)(k+3))`
`=(1)/((k+1)(k+2))[(k(k+3))/(4)+(1)/((k+3))]`
`=(1)/((k+1)(k+2))[(k(k+3)^(2)+4)/(4(k+3))]`
`=(1)/(4(k+1)(k+2)(k+3))[k(k+9+6k)+4]`
`=(k^(3)+6k^(2)+9k+4)/(4(k+1)(k+2)(k+3))`
`=((k+1)(k^(2)+5k+4))/(4(k+1)(k+2)(k+3))=((k+4)(k+1))/(4(k+2)(k+3))`
`=((k+1)[(k+1)+3])/(4[(k+1)+][(k+1)+2])`
अंत : n =k +1 के लिए p (n ) सत्य है
अर्थात p (k +1 ) सत्य है जबकि p (k ) सत्य है ।
अंत : `n in N ` के लिए गणितीय आगमन द्वारा दिया गया कथन p (n ) सत्य है ।