सभी `n in N ` ले लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
`p(n ):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.11)+……..+(1)/((3n-2)(3n+1))=(n)/((3n+1)).`

Explanation

माना कि दिया गया कथन p (n ) हो , तब
`p(n ):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.11)+……..+(1)/((3n-2)(3n+1))=(n)/((3n+1)).`
बायाँ पक्ष : `(1)/((3n-2)(3n+1))`
`n=1` रखने पर ,
`=(1)/(3-2)(3+1))=(1)/(1xx4)=(1)/(4)`
दायाँ पक्ष :`(n)/(3n+1)`
`n=1`रखने पर ,
`(n)/((3n+1))=(1)/(3+1)=(1)/(4)`
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष ।
अंत : कथन p (n ),n =1 के लिए सत्य है ।
कल्पना कीजिए n =k के लिए p (k ) सत्य है ।
`p(k):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+......+(1)/((3k-2)(3k+1))=(k)/((3k+1))`
`k`वा पद `=(1)/((3k-2)(3k+1))`
तथा `(k+1)`वा पद `=(1)/([3(k+1)-2][3(k+1)+1])=(1)/((3k+1)(3k+4))`
अंत : कथन के दोनों पक्षों में `(1)/((3k+1)(3k+4))`को जोड़ने पर ,
`therefore p(k):(1)/(1.4)+(1)/(4.7)+(1)/(7.10)+......+(1)/((3k-2)(3k+1))+(1)/((3k+1)(3k+4))`
दायाँ पक्ष : इ`(k)/(3K+1)+(1)/(3k+1)(3k+4))=(k(3k+4)+1)/((3k+1)(3k+4))`
`=(3k^(2)+4k+1)/((3k+1)(3k+4))=((3k+1)(k+1))/((3k+1)(3k+4))`
`=((k+1))/((3k+4))=((k+1))/(3(k+1)+1)`
इसलिए n =K +1 के लिए p (k +1 ) सत्य है । अर्थात p (k +1 ) सत्य है जबकि p (k ) सत्य है । अंत : गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा `n in N ` के लिए दिया गया कथन p (n ) सत्य है ।