यदि पर सम्मिश्र संख्या `z = x + iy` ऐसा है कि का कोणांक सदैव `45^(@)`, है, तो सिध्द कीजिए
`x^(2) + y^(2) -2y = 1`

Explanation

`:' z = x + iy`
`:. (z -1)/(z +1) = (x + iy -1)/(x + iy +1) xx (x + 1-iy)/(x + 1-iy) = (x^(2) - (1 -iy)^(2))/((x +1)^(2) + y^(2))`
`= (x^(2) -1 + y^(2) + 2i)/((x +1)^(2) + y^(2))`
`=[(x^(2) + y^(2) -1)/((x +1)^(2) + y^(2))] +i[(2y)/((x +1)^(2) + y^(2))]`
`=a + ib`,मान लीजिए।
`:. tan theta = (b)/(a) = (2y)/(x^(2) + y^(2) -1) = tan 45^(@) =1`
`rArr x^(2) +y^(2) -1 = 2y`
`rArr x^(2) + y^(2) -2y = 1`