शब्द (scholar) के अक्षरों को भिन्न-भिन्न क्रमों से रखकर कितने शब्द बनाये जा सकते हैं? जबकि -
(i) पहला अक्षर `s` और अन्तिम अक्षर `r` हो,
(ii) मध्य के अक्षर `o`हो,
(iii) oa एक ही साथ रखे जायें,
(iv) o,a एक ही साथ न रखे जायें,
(v) s,c,h एक ही साथ रखे जायें।

Explanation

(i) कुल अक्षर सात हैं। यदि पहला अक्षर `s` और अन्तिम अक्षर `r` हो तो पांच ही अक्षर `c,h,o,l,a` रह गये जो `5!` प्रकार से लिखे जा सकते हैं । अतः कुल शब्दों की सख्या `=5"!"=120`
(ii) जब अक्षर `o` मध्य में है तो छः अक्षर शेष रह गये जो `6!` प्रकार से लिखे जा सकतेक हैं। अतः कुल शब्दों की संख्या `6"!"=720`
(iii) जब `oa` को एक ही साथ रखना है तो `oa` को मिलाकर एक अक्षर मान सकते हैं । इस प्रकर केवल छः ही अक्षर `s,c,h,l,r,oa` रह गये जो `6!` प्रकार से लिखे जा सकते हैं।
परंतु अक्षर `oa` एक साथ रह कर भी `.^(2)P_(2)` प्रकार से लिखे जा सकते हैं और इसमें से प्रत्येक विधि के लिए `6!` शब्द बन सकते हैं। अत: कुल शब्दों की संख्या `=6!xx2"!"=1440`
(iv) कुल सातों अक्षरों को बिना किसी प्रतिबंध के `7!` प्रकार से से लिखा जा सकता है। इसमें वे शब्द भी सम्मिलित हैं जिनमें `oa` एक ही साथ रहे हों
अतः अभीष्ट संख्या `=7!-1440=3600`
(v) जब `sch` कोक एक ही साथ रखना है तो केवल 5 ही अक्षर `sch,o,o,a,r` रह गये जो `5!` प्रकार से लिखे जा सकते हैं।
परन्तु अक्षर `s,c,h` एक साथ रह कर भी `.^(3)P_(3)` प्रकार से लिखे जा सकते हैं, और इनमें से प्रत्येक विधि के लिए `3!` शब्द बन सकते हैं।
अतः कुल शब्दों की संख्या `=5!xx3"!"=720`