INDEPENDENCE शब्द के अक्षरों से बनने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजए। इन विन्यासों में से कितने विन्यासों में
(i) शब्द `P` सेक प्रारम्भ होते हैं?
(ii) सभी स्वर सदैव एक साथ रहते हैं?
(iii) स्वर कभी भी एक साथ नहीं रहते हैं?
(iv) शब्द I से प्रारम्भ होते हैं और उनका अंत `P` से होता है?

Explanation

दिए गए शब्द में अक्षरों की कुल संख्या `=12`
जिसमें `N` तीन बार `D` दो बारख्‍ `E` चार बार तथा शेष एक-एक बार ही प्रयुक्त हो रहे हैं।
`:.` विन्यासों की कुल संख्या `=(12!)/(3!2!4!)`
`=1663200`
(i) जब अक्षर `P` को बायें स्थान पर रख देगें तो शेष अक्षर `=11`
अतः `P` से प्रारम्भ होने वाले की संख्या
`=(11!)/(3!2!4!)=138600`
(ii) दिए गए शब्द में स्वरों की संख्या `=5`
जिसमें E चार बार तथा 1 बार स्थित हैं इनकों मिलाकर एक अक्षर मान लेने पर, कुल अक्षरों की संख्या `=8`
अब इन 8 अक्षरों में `N` तीन बार तथा `D` दो बार स्थिलत हों तब विन्यासों की संख्या `=(8!)/(3!2!)`
तथा 5 स्वरों में से `E` चार बार तथा 1 एक बार हो तब विन्यासों की संख्या `=(5!)/(4!)`
अतः अभीष्ट संख्या `=(8!)/(3!2!)xx(5!)/(4!)=16800`
(iii) जब सभी स्वर एक साथ न हों, तब विन्यासों की संख्या
`=` विन्यासों की कुल संख्या `-` स्वर से साथर रहने पर विन्यासों की संख्या `=1663200-16800`
`=1646400`
(iv) प्रश्नानुसार 1 तथा `P` को क्रमशः प्रारम्भ तथा अंत में स्थिर करने पर विन्यासों की संख्या
`=(10!)/(3!2!4!)`
`=12600`