शब्द CALCUTTA के अक्षरों से केवल चार अक्षर लेकर कितने क्रमचय और कितने संचय बनाये जा सकते हैं?

Explanation

दिये शब्द में आठ अक्षर हैं अर्थात दो A दो C दो T, एक L और एक U है।
चार अक्षरों के समूहों का वर्गीकरण निम्न प्रकार से किया जा सकता है ऐसे समूह जिनमें
(i) दो समान अक्षर एक प्रकार के और दो समान अक्षर दूसरे प्रकार के हों
(ii) दो समन और दो भिन्न अक्षर हों,
(iii) चारों अक्षर भिन्न हों।
अब प्रत्येक समूह के संचय और क्रमचय अलग-अलग निकालेंगे।
समूह (i) के संचय `.^(3)C_(2)` हैं, क्योंकि दो समान अक्षरों के कुल तीन जोड़े हैं अर्थात AA,CC,TT जिनमें से कोई दो जोड़े लेते हैं। `.^(3)C_(2)` में से प्रत्येक संचय के चार अक्षरों को `(4!)/(2! 2!)` प्रकार से रखा जा सकता है। अतः इस प्रकार चुने हुए चार अक्षरों के क्रमचय की संख्या
`=.^(3)C_(2)xx(4!)/(2! 2!)`
समूह (ii) के लिए दो समान `.^(3)C_(2)` अर्थात 3 प्रकार से चुने जा सकते हैं और शेष भिन्न में से कोई दो `.^(4)C_(2)` प्रकार से चुने जा सकते हैं और शेष समूह (ii) के संचय की संख्या `=3xx.^(4)C_(2)`
इनमें से प्रत्येक संचय का `(4!)/(2!)` प्रकार से विन्यास हो सकता है। अतः इस प्रकार के चुने हुए चार अक्षरों के क्रमचयों की संख्या
`3xx.^(4)C_(2)xx(4!)/(2!)`
समूह (iii) के संचय `.^(5)C_(4)` है क्योंकि भिन्न प्रकार `C,A,L,T,U` केवल पांच है और उनमें से 4 लेने हैं
इनके क्रमचय `=.^(5)C_(4)xx4!`
अतः क्रमचयों की कुल संख्या `=.^(3)C_(2)xx(4!)/(2! 2!)+3xx.^(4)C_(2)xx(4!)/(2!)+.^(5)C_(4)xx4!`
`=3xx6+3xx6xx12+5xx24=334`
संचयों की कुल संख्या `=.^(3)C_(2)+3xx.^(4)C_(2)+.^(5)C_(4)`
`=3+18+5=26`