माना एक `n` भुजाओं वाली समबहुभुज के शीर्षों को मिलाकर बनने वाले सभी सम्भव त्रिभुजों की संख्या `T_(n)` है। यदि `T_(n+1)-T_(n)=10` है तो `n` का मान ज्ञात कीजिए।

Explanation

`n` भुजाओं वाली समबहुभुज के शीर्षों को मिलाकर बनने वाले सभी सम्भव त्रिभुजों की संख्या
`T_(n)=.^(n)C_(3)` ……………..1
या `T_(n+1)=.^(n+1)C_(3)` दिया है
`=.^(n+1)C_(3)-.^(n)C_(3)=10`
`implies .^(n)C_(2)+.^(n)C_(3)-.^(n)C_(3)=10`
`implies.^(n)C_(2)=10`
या `(n!)/(2!(n-2)!)=10`
या `(n(n-1)(n-2)!)/(2.(n-2)!)=10`
या `n^(2)-n=20`
या `n^(2)-n-20=0`
या `n^(2)-5n+4n-20=0`
`n(n-5)+4(n-5)=0`
या `(n-5)(n+4)=0`
या `n=5,-4`
अर्थात ऋणात्मक मान मान्य नहीं है।
अतः `n=5`