द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके सिध्द कीजिए कि `6^(n) - 5n` को जब से भाग दिया जाये, तो सदैव 1 शेष बचता है ।

Explanation

जब `6^(n) - 5n` को 25 से भाग दिया जाता है, तब 1 शेष बचता है । तब हमे सिध्द करना है `6^(n) - 5n = 25k + 1` जहाँ k एक प्राकृतिक संख्या है ।
द्विपद प्रमेय से
`(1 + x)^(n) = .^(n)C_(0) + .^(n)C_(1)x + .^(n)C_(2)x^(2) +...........+ .^(n)C_(n)x^(n)`
x = 5 के लिए
`(1 + 5)^(n) = .^(n)C_(0)+.^(n)C_(1)xx 5 + .^(n)C_(2)(5)^(2)+.........+.^(n)C_(n)(5)^(n)`
`6^(n) = 1 5n + 5^(2).^(n)C_(2)+5^(3).^(n)C_(3)+........++5^(n)`
`6^(n) - 5n = 1 + 5^(2) (.^(n)C_(2)+5^(n)C_(3)+.........+5^(n-2))`
`=1 + 25 (.^(n)C_(2)+5^(n)C_(3)+..........+5^(n-2))`
` = 1 + 25 k" "("जहाँ" k = .^(n)C_(2)+5^(n)C_(3)+..........+5^(n-2))`
या `6^(n) - 5n = 1 + 25 k`
अत: जब `6^(n) - 5n` को 25 से भाग दिया जाता है, तब 1 शेष बचता है ।