यदि `(1 + a)^(n)` के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक `1 : 7 : 42` के अनुपात में है तो `n` का मान ज्ञात कीजिए ।

Options

A. `n=55`
B. `n=44`
C. `n=33`
D. `n=22`

Answer

A

Explanation

माना की `(1 + a)^(n)` के प्रसार में तीन क्रमागत पद (r - 1)वां, r वां तथा (r + 1)वां हैं, तब
(r -1) वां पद =`.^(n)C_(r-1-1) a^(r-1-1)=.^(n)C_(r-2).a^(r-2)`
`therefore` (r -1)वे पद का गुणांक `=.^(n)C_(r-2)`
r वां पद =`.^(n)C_(r-1).a^(r-1)`
r वे पद का गुणांक `=.^(n)C_(r-1)`
तथा (r + 1) वां पद `=.^(n)C_(r+1-1).a^(r+1-1)`
`therefore` (r + 1)वे पद का गुणांक `=.^(n)C_(r)`
`because` गुणाको का अनुपात = 1 : 7 : 42
`therefore ("(r-1)वे पद का गुणांक")/("r वे पद का गुणांक") = (1)/(7)`
`(.^(n)C_(r-2))/(.^(n)C_(r-1))=(1)/(7)`
`((n!)/((n-r+2)!.(r-2)!))/((n!)/((n-r+1)!.(r-1)!))=(1)/(7)`
`(n!)/((n-r+2)(n-r+1)!(r-2)!)xx((n-r+1)!(r-1)(r-2)!)/(n!)=(1)/(7)`
`(r-1)/(n-r+2)=(1)/(7)`
`n - r + 2 = 7r - 7`
`n - 8r + 9 = 0" "...(i)`
तथा `("r वे पद का गुणांक")/("(r + 1) वे पद का गुणांक") = (7)/(42)`
`(.^(n)C_(r-1))/(.^(n)C_(r))=(7)/(42)`
`((n!)/((n-r+1)!(r-1)!))/((n!)/((n-r)!r!))=(1)/(6)`
`(n!)/((n-r+1)(n-r)!(r-1)!)xx((n-r)!r.(r-1)!)/(n!) = (1)/(6)`
`(r)/(n-r+1)=(1)/(6)`
`n-r+1 = 6r`
`n-7r + 1 = 0" "...(ii)`
समीकरण (i) तथा (ii) हल करने पर,
n = 55.