सिध्द कीजिए की `C_(0)^(2) + C_(1)^(2) + C_(2)^(2) + ......... + C_(n)^(2) = ((2n)!)/((n!)^(2)). (1 + x)^(n)` के प्रसार में द्विपद गुणाको के वर्गो का योगफल ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`(1 + x)^(n) = c_(0) + C_(1)x + C_(2)x^(2) + ...... + C_(n-1)x^(n-1) + C_(n)x^(n)" "...(1)`
गुणाको का क्रम उलटने पर,
`(1 + x)^(n) = C_(n) + C_(n - 1) x + ...... + C_(1)x^(n-1) + C_(0)x^(n)" "...(2)`
क्योंकि `C_(0) = C_(n), C_(1) = C_(n-1)` इत्यादि ।
(1) और (2) का गुणा करने पर स्पष्ट है कि गुणनफल में `x^(n)` का गुणांक `C_(0)^(2) + C_(1)^(2) + ......... + C_(n-1)^(2) + C_(n)^(2)` अर्थात `sum C_(r)^(2)` है, अत: `sum C_(r)^(2)` का मान `(1+x)^(n) xx (1 + x)^(n)`, अर्थात `(1+x)^(2n)` के प्रसार में `x^(n)` के गुणांक के बराबर है । अत:
`C_(0)^(2) + C_(1)^(2) + C_(2)^(2) + .... + C_(n)^(2) = .^(2n)C_(n) = ((2n)!)/(n!n!)`.