द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल `(1 + 2a)^(4) (2 - a)^(5)` में `a^(4)` का गुणांक ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`(1 + 2a)^(4)` का प्रसार करने पर,
`.^(4)C_(0)+.^(4)C_(1).(1)^(3)(2a)^(1)+.^(4)C_(2)(1)^(2)(2a)^(2)+.^(4)C_(3)(1)^(1).(2a)^(3)+.^(4)C_(4).(1)^(0)(2a)^(4)`
`= 1 + 4 xx 2a + 6 xx 4a^(a) + 4 xx 8a^(3) + 1 xx 16a^(4)`
`= 1 + 8a + 24a^(2) + 32a^(3) + 16a^(4)`
तथा `(2 - a)^(5)` का प्रसार करने पर,
`=(2)^(5).^(5)C_(0)+.^(5)C_(1)(2)^(4)(-a)^(1)+.^(5)C_(2)(2)^(3)(-a)^(2)+.^(5)C_(3)(2)^(2)(-a)^(3)+.^(5)C_(4)(2)^(1)(-a)^(4)+.^(5)C_(5)(2)^(0)(-a)^(5)`
`= 1 xx 32 - 5 xx 16a + 10 xx 8a^(2) - 10 xx 4a^(3) + 5 xx 2a^(4) - 1 xx a^(5)`
`= 32 - 80a + 80a^(2) - 40a^(3) + 10a^(4) - a^(5)`
अब `(1 + 2a)^(4)(2 - a)^(5)`
`= (1 + 8a + 24a^(2) + 32a^(3) + 16a^(4))(32 - 80a + 80a^(2) - 40a^(3) + 10a^(4) - a^(5))`
अब हम इस गुणनफल में से उन्ही पदों को लेंगे जिनमे `a^(4)` प्रकट होता है ।
`= 1 xx 10a^(4) + 8a (-40a^(3))+24a^(2)(80a^(2))+32a^(3)(-80a)+16a^(4)(32)`
`= 10a^(4) - 320a^(4) + 1920a^(4) - 2560a^(4) + 512a^(4)`
`= - 438a^(4)`
अत: `a^(4)` का गुणांक = - 438.