`(x - (3)/(x^(2)))^(m), x ne 0` जहाँ `m` एक प्राकृत संख्या है, के प्रसार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग `559` है । प्रसार में `x^(3)` वाला पद ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`(x - (3)/(x^(2)))^(m)` का पहला पद `= .^(m)C_(0)(x)^(m)(-(3)/(x^(2)))^(0)`
दूसरा पद `= .^(m)C_(1)(x)^(m-1)(-(3)/(x^(2)))`
तीसरा पद `= .^(m)C_(2)(x)^(m-2)(-(3)/(x^(2)))^(2)`
`.^(m)C_(2)(x)^(m-2)(-3)^(2)(x^(-4))`
`= 9.^(m)C_(2)(x)^(m-6)`
अब पहले पद का गुणांक `= .^(m)C_(0)`
दूसरे पद का गुणांक `= (-3).^(m)C_(1)`
तीसरे पद का गुणांक `= 9.^(m)C_(2)`
`therefore` पहले तीन पदों के गुणांकों का योगफल = 559
अर्थात `.^(m)C_(0) - 3.^(m)C_(1) + 9.^(m)C_(2) = 559`
`rArr 1-3m + (9m(m-1))/(2) = 559`
`rArr 2 - 6m + 9m^(2) - 9m = 1118`
`rArr 9m^(2) - 15m + 2 - 1118 = 0`
`rArr 9m^(2) - 15m - 1116 = 0`
`rArr (m - 12) (9m + 93) = 0`
अत: m = 12
अब `T_(r+1)=.^(m)C_(r).x^(m-r)(a)^(r)`
`=.^(12)C_(r).(x)^(12-r).(-(3)/(x^(2)))^(r)`
`=.^(12)C_(r).x^(12-r-2r).(-3)^(r)`
`=.^(12)C_(r).(-3)^(r)x^(12-3r)`
`x^(3)` वाले पद हेतु 12 - 3r = 3
या r = 3
`=.^(12)C_(3).(-3)^(r).x^(12-9)`
`= 220 xx (-27)x^(3)`
`= - 5940x^(3)`