यदि एक समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों के योगफल क्रमशः a, b, c हों, तो सिद्ध करो कि
`(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0.`

Explanation

मानलो x प्रथम पद और d सार्वअंतर है, तब
`a=(1)/(2)p{2x+(p-1)d}" " `...(1)
`b=(1)/(2)q{2x+(q-1)d} " " `...(2)
`c=(1)/(2)r{2x+(r-1)d} " " `...(3)
(1 ) को `qr (q - r ) ` से , (2 ) को `rp (r - p ) ` से और (3 ) को `pq (p - q ) ` से गुना करने पर,
`aqr(q-r)=pqr{x(q-r)+(1)/(2)(p-1)(q-r)d}`
`brp(r-p)=pqr{x(r-p)+(1)/(2)(q-1)(r-p)d}`
`cpq(p-q)=pqr{x(p-q)+(1)/(2)(r-1)(p-q)d}`
इन्हें जोड़ने पर,
`aqr(q-r)+brp(r-p)+cpq(p-q)=0`
pqr से भाग देने पर
`(a)/(p)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0.`