श्रेणी `3+5+9+15+23+…` का n वां पद और n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये।

Explanation

मान लीजिये श्रेणी के n पदों का योगफल S है।
`{:(therefore, S=3+5+9+15+23+...+T_(n)),("और",S=" "+3+5+9+15+...+T_(n-1)+T_(n)),("घटाने पर,",bar(0=3+2+4+6+9+...+(T_(n)-T_(n-1))-T_(n))):}`
या `T_(n)=3+[2+4+6+8+....+(T_(n)-T_(n-1))]`
या ` T_(n)=3+2{1+2+3+....(n-1)" पदों तक"}`
`=3+2((n-1)(n-1+1))/(2)`
`=3+(n-1)n`
`=3+n^(2)-n`
`=n^(2)-n+3`
`therefore n` पदों का योगफल, `S=Sigma (n^(2)-n+3)`
`=Sigma n^(2)-Sigma n+Sigma 3`
`=Sigma n^(2)-Sigma n+3 Sigma 1`
`=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)-(n(n+1))/(2) +3n`
`=(2n^(3)+3n^(2)+n)/(6)-(n^(2)+n)/(2)+3n`
`=(2n^(3)+3n^(2)+n-3n^(2)-3n+18n)/(6)`
`=(2n^(3)+16n)/(6)`
`=(n^(3)+8n)/(3)`
श्रेणी का n वां पद `= n ^(2 ) -n +3 ` और श्रेणी का योगफल `=(n^(3)+8n)/(3)`.