श्रेणी `5+11+19+29+41+………………..` के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

मान लीजिए श्रेणी के n पदों का योगफल S है, तब
`{:(,S=5+11+19+29+41+......+T_(n)),("और ",S=" "+5+11+19+29+......+T_(n)-1+T_(n)),("घटाने पर,",bar(0=5+6+8+10+12+......+(T_(n)-T_(n-1))-T_(n))):}`
या `T_(n)=5+[6+8+10+12+......(n-1) "पदों तक"]`
`=5+[(n-1)/(2){2xx6+(n-1-1)2}]`
`=5+ [(n-1)/(2){12+(n-2)2}]`
`=5+[(n-1)/(2){2n+8}]`
`=5+(n-1)(n+4)`
`=5+n^(2)-n+4n-4`
`=n^(2)+3n+1`
अब n पदों का योगफल,
`S= Sigma(n^(2)+3n+1)`
`=Sigman^(2)+3Sigman+Sigma1`
`=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+(3)/(2)(n^(2)+n)+n`
`=(1)/(6)n(n+1)(2n+1)+(3)/(2)n(n+1)+n`
`=(n(n+1)(2n+1)+9n(n+1)+6n)/(6)`
`=(n(2n^(2)+3n+1)+9n^(2)+15n)/(6)`
`=(2n^(3)+3n^(2)+n+9n^(2)+15n)/(6)`
`=(2n^(3)+12n^(2)+16n)/(6)=(n(n+2)(n+4))/(3).`