निम्नलिखित श्रेणी का n वां पद ज्ञात करो -
`1+2+5+12+25+46+77+…`

Explanation

यहाँ पदों के अंतर स. श्रे. में नहीं हैं परन्तु पदों के अंतर समांतर श्रेणी में हैं।
मानलो श्रेणी का n वां पद `T _(n ) ` और योगफल S है, तो
`{:(,S=1+2+5+12+25+46+77+....+T_(n)),("पुनः",S=" "1+2+5+12+25+46+....+T_(n-1)+T_(n)),("फिर घटाने पर,",bar(0=1+1+3+7+13+21+31+....+(T_(n)-T_(n-1))-T_(n))):}`
`therefore T_(n)=1+{1+3+7+13+21+....(n-1) " पदों तक"}`
मानलो श्रेणी `1+3+7+13+....` का `(n - 1)` वां पद `t_(n-1)` और योग S' है तो
`{:(,S'=1+3+7+13+21+....+t_(n-1)),("पुनः",S'=" "1+3+7+13+....+t_(n-2)+t_(n-1)),("घटाने पर,",bar(0=1+2+4+6+8+....+(t_(n-1)-t_(n-2))-t_(n-1)')):}`
`because t_(n-1)=1+2{1+2+3+4+....(n-2) " पदों तक"}`
`=1+2(1)/(2)(n-2)(n-1)=n^(2)-3n+3.`
`therefore t_(n)=(n+1)^(2)-3(n+1)+3=n^(2)-n+1`
अतः `T_(n)=1+{1+3+7+....(n-1)" पदों तक" }`
`=1+underset(1)overset(n-1)sum (n^(2)-n+1)=1+underset(1)overset(n-1)sumn^(2)-underset(1)overset(n-1)sumn+underset(1)overset(n-1)sum1`
`=1+(1)/(6)n(n-1)(2n-1)-(1)/(2)n(n-1)+(n-1)`
`=(1)/(3)n(n-1)(n-2)+n`
अतः व्यापक पद `T_(n)=(1)/(3)n(n-1)(n-2)+n.`
यदि उस श्रेणी का योग ज्ञात करना हो, तो यहाँ से `Sigma ` संकेतन द्वारा बड़ी सुगनता से प्राप्त किया जा सकता है।