यदि n प्राकृतिक संख्याओं का योग `S _(1 )` उनके वर्गों का योग `S _(2 )` और उनके घनों का योग `S _(3 ) ` हो, तो सिद्ध कीजिए कि-
`9S_(2)^(2)=S_(3)(1+8S_(1)).`

Explanation

n प्राकृतिक संख्याओं का योग `S_(1)=(n(n+1))/(2) " "` ...(1)
n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गो का योग
`S_(2)=(1)/(6)n(n+1)(2n+1) " " ` ...(2)
n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग
`S_(3)={(n(n+1))/(2)}^(2) " "` ...(3)
अतः ` S_(3)(1+8S_(1))=(n^(2)(n+1)^(2))/(4){1+8(n(n+1))/(2)}`
`=(n^(2)(n+1)^(2))/(4){1+4n^(2)+4n}`
`=(n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2))/(4)`
`=9(n^(2)(n+1)^(2)(2n+1)^(2))/(4xx9)`
`=9[(n(n+1)(2n+1))/(6)]^(2)`
`=9S_(2)^(2)`
`therefore 9S_(2)^(2)=S_(3)(1+8S_(1)).`