किसी समकोणीय अतिपरवलय `x^(2)-y^(2)=a^(2)` में सिद्ध कीजिए कि `SP.S'P=CP^(2)` जहाँ अतिपरवलय पर कोई बिन्दु C मूल बिन्दु, S तथा S' अतिपरवलय कि नाभियाँ है |

Explanation

माना P(x, y) अतिपरवलय पर कोई बिन्दु है |
सूत्र `" "b^(2)=a^(2)(e^(2)-1)`
`" "a^(2)=a^(2)(e^(2)-1)`
`" "e^(2)-1=1`
`e=sqrt(2)`
`" "SP=ex-a`
तथा `" "S'P=ex+a`
`" "SP.S'P=(ex-a)(ex+a)`
`" "e^(2)x^(2)=a^(2)`
`" "SP.S'P=2x^(2)-a^(2)" "...(1)`
`CP=sqrt((x-0)^(2)+(y-0)^(2))=sqrt(x^(2)+y^(2))`
`because" "x^(2)-y^(2)=a^(2)`
या `" "y^(2)=x^(2)-a^(2)`
तब `" "CP=sqrt(x^(2)+x^(2)-a^(2))=sqrt(2x^(2)-a^(2))`
या `" "CP^(2)=2x^(2)-a^(2)" "...(2)`
समीकरण (1) तथा (2) से,
`SP.S'P=CP^(2)`.