गुणनखण्डन द्वारा निम्निलिखित बहुपदो के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा इन बहुपदो के गुणांकों और शून्यको के बीच के सम्बन्धो को सत्यापित कीजिए :
`(i) 4x^(2)-3x-1`
`(ii)3x^(2)+4x-4`
`(iii) 5t^(2)+12t+7`
`2x^(2)+(7)/(2)x+(3)/(4)`

Explanation

(i) `4x^(2)-3x-1=4x^(2) -4x+x-1`
`=4x(x-1)+1(x-1)`
`=(x-1)(4x+1)`
अंत : बहुपद `4x^(2) -3x-1` का मान शून्य होगा जब
`x-1=0` या `x-1`
और `4x+1=0`या `x=-(1)/(4)`
अंत : बहुपद`4x^(2)-3x-1` के शून्यक 1 और `-(1)/(4)` है ।
अब शून्यको का योगफल `=1-(1)/(4) =(3)/(4)`
अर्थात `-(x" का गुणांक ")/(x^(2)" का गुणांक")=-((-3)/(4))=(3)/(4)`
और शून्यको का गुणनफल `=1xx(-(1)/(4))=(-1)/(4)`
अर्थात `("अचर पद")/(x^(2)" का गुणांक")=-(1)/(4)`.
`(ii) 3x^(2)+4x-4=3x^(2)+6x-2x-4`
`=33x(x+2)-2(x+2)=(x+2(x+2)(3x-2)`
अंत : बहुपद `3x^(2)+4x-4` का मान शून्य होगा जब
`x+2=0` या `x=-2`
तथा `3x-2=0` या `x=(2)/(3)`
अर्थात बहुपद `3x^(2) +4x-4` के शून्यक `-2` और `(2)/(3)` है|
अब `" "` शून्यको का योगफल `=(2)/(3) -2=-(4)/(3)`
`-(x" का गुणांक")/(x^(2)" का गुणांक")=-(4)/(3)`
और शून्यको का गुणनफल `=(-2)xx((2)/(3))=-(4)/(3)`
`(" अचर पद")/(x^(2)" का गुणांक ")=(4)/(3)`
`(iii) 5t^(2)+12t+7=5^(2)+5t+7t+7`
अर्थात बहुपद `5t^(2)+12t+7` का मान शून्य होगा , जब
`t+1=0` या `t=-1`
और`st+7=0` या `t=-(7)/(5)`
अंत : बहुपद `5t^(2)12t+7`के शून्यक -1 और `-(7)/(5)` है
। अब शून्यको का योगफल `=-1-(7)/(5)=-(12)/(5)`
`(t"का गुणांक ")/(t^(2)" का गुणांक")=-(12)/(5)`
तथा शून्यको का गुणनफल `=(-1)(-(7)/(5))=(7)/(5)`
`(" अचर पद")/(t^(2)" का गुणांक")`
`(iv)2x^(2)+(7)/(2)x+(3)/(4)=(1)/(4)[8x^(2)+14+3]`
`=(1)/(4)[8x^(2)+12x+122x+3]`
`=(1)/(4)[4x(2x+3)+1(2x+3)]`
`=(1)/(4)[(2x+3)(4x+1)]`
अंत बहुपद `2x^(2)+(7)/(2)x+(3)/(4)` का मान शून्य होगा , जब
`2x+3=0` या `x=-(3)/(2)`
और `4x+1=0`या `x=(-1)/(4)`
अंत : बहुपद `2x^(2)+(7)/(2)x+(3)/(4)`के शून्यक `-(3)/(2)` और`(-1)/(4)` है
अब शून्यको का योगफल `=-(3)/(2)-(1)/(4)=-(7)/(4)`
अर्थात `(-x"का गुणांक")/(" का गुणांक ")=-(7//2)/(2)=-(7)/(4)`
और शून्यको का गुणनफल `=(-(3)/(2))(-(1)/(4))=(3)/(8)`
अर्थात `("अचर पद")/(x^(2)" का गुणांक ")=(3//4)/(2)=(3)/(8)`