निम्निलिखित में से प्रत्येक में बहुपद ज्ञात कीजिए जिनके शून्यको के क्रमश : योग और गुणनफल दिए हुए है साथ ही , गुणनखण्ड द्वारा , इन बहुपदो के शून्यक भी ज्ञात कीजिए :
`(i) -(8)/(3),(4)/(3)" " (ii) -2sqrt(3),-9`

Explanation

माना `alpha ` तथा `beta ` अभीष्ट बहुपद के शून्यक हो तब
शून्यको का योगफल `alpha + beta =-(8)/(3)`
और शून्यको का योगफल `alpha beta =(4)/(3)`
अब अभीष्ट बहुपद
`f(x) =x^(2)-(alpha+beta )x+alpha beta `
`=x^(2)-(-(8)/(3))x+(4)/(3)=x^(2)+(8)/(3)x+(4)/(3)`
`=(1)/(3)[3x^(2)+6x+2x+4]`
`=(1)/(3)[3x(x+2)+2(x+2)]`
`(1)/(3)[(x+2)(3x+2)]`
अंत : बहुपद f (x ) का मान शून्य , जब
`x+2=0`या `x=-2`
और या`3x+2=0` `x=-(2)/(3)`
अंत : बहुपद f (x ) के शून्यक `-2` और `-(2)/(3)` हो (ii ) माना `alpha ` तथा ` beta ` abhishit बहुपद f (x ) के शून्यक हो , तब
शून्यको का योगफल ,`alpha + beta =-2sqrt(3)`
और `" "` गुणनफल `alpha beta =-9`
अभीष्ट बहुपद `f(x) =x^(2)-(alpha + beta )x+alpha beta `
`=x^(2)-(-2sqrt(3))x+(-9)`
`=x^(2)+3sqrt(3)x-sqrt(3)-9`
`=x(x+3sqrt(3))-sqrt(3)(x+3sqrt(3))`
`=(x+3sqrt(3))(x-sqrt(3))`
अंत : बहुपद f (x ) का मान शून्य होगा , जब
`x-sqrt(3)=0` या `x+3sqrt(3)`
और `x+3sqrt(3)=0` या `x=-3sqrt(3)`
अंत : बहुपद f (x ) के शून्यक `sqrt(3 )` और `-3sqrt (3)` है ।