आयतन ABCD के अंदर स्थित O कोई बिन्दु है । सिद्ध कीजिए कि `OB^(2)+OD^(2)=OA^(2)+OC^(2)` है ।

Explanation

O से होकर जाती हुई PQ ।। BC खींची जिसमें P भुजा AB पर तथा Q भुजा DC पर स्थित हो ।
अब PQ||BC
अतः `PQbotAB`
तथा `PQbotDC " " (angleB=90^(@) तथा angleC=90^(@))`
तब `angleBPQ=angleCQP=90^(@)` है |
अतः BPQC और APQD दोनों आयत हैं ।

`DeltaOPB` से, `OB^(2)=BP^(2)+OP^(2)` . . . (1)
तथा `DeltaOQD` से, `OD^(2)=OQ^(2)+DQ^(2)` . . . (2)
`DeltaOQC` से, `OC^(2)=OQ^(2)+CQ^(2)` . . . (3)
`DeltaOAP` से, `OA^(2)=AP^(2)+OP^(2)` . . . (4)
सम्बन्ध (1) तथा (2) को जोड़ने पर
`OB^(2)+OD^(2)=BP^(2)+OP^(2)+OQ^(2)+DQ^(2)`
`=CQ^(2)+OP^(2)+OQ^(2)-AP^(2)`
(क्योंकि BP = CQ तथा DQ = AP है )
`=(CQ^(2)+OQ^(2))+(OP^(2)+AP^(2))`
`=OC^(2)+OA^(2)` [सम्बन्ध (3 ) तथा (4 ) से ]
अतः `OB^(2)+OD^(2)=OC^(2)+OA^(2)`.