एक ऊर्ध्वाधर स्तम्भ अपने पाद के तल में स्थि त किसी बिंदु पर `alpha` कोण अन्तरित करता है तथा एक a मीटर लम्बा आदमी, जो खम्भे के शिखर पर खड़ा है उस बिंदु पर `beta` कोण अन्तरित करता है। सिद्ध कीजिए कि खम्भे की लम्बाई `( a sin alpha cos (alpha +beta) )/(sin beta)` मीटर है।

Explanation

मान लो खम्भे की लम्बाई `QR = h` मीटर तथा आदमी की लम्बाई PQ = A मीटर
`angleQOR = alpha` तथा `anglePOQ = beta`
`DeltaQOR tan alpha = (h)/(OR)`
`:. OR = h cot alpha "…….."(1)`
पुनः `DeltaPOR` से, `tan(alpha + beta) = (A + h)/(O)`
Or `= (A + h) cot (alpha + beta)`
(1) व (2) से, `(A + h) cot (alpha + beta) = h cot (alpha + beta)"......."(2)`
`A cot (alpha + beta) + h cot (alpha + beta) = h cot alpha`
`A cot (alpha + beta) + h cot (alpha + beta) = h cot alpha`
`h[cot alpha - cot (alpha + beta)] = A cot (alpha + beta)`
`h[(cosalpha)/(sin alpha) - (cos (alpha +beta))/(sin (alpha + beta))] = A cot (alpha + beta)`
`h[(sin (alpha + beta) cos alpha - cos (alpha + beta) sin alpha)/(sin alpha sin (alpha + beta))] = (A cos (alpha + beta))/(sin (alpha + beta))`
`h[sin (alpha + beta - alpha) = A sin alpha cos (alpha + beta)`
`h[sin beta] = A sin cos (alpha + beta)`
`h = (A sin alpha cos (alpha + beta))/(sin beta)`.