(i) सिद्ध कीजिए कि यदि `a` एक अपरिमेय संख्या हो तो `-a` भी अपरिमेय संख्या होगी।
(ii) सिद्ध कीजिए कि एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योगफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होती है।
(iii) सिद्ध कीजिए कि एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होती है।

Explanation

(i) मान लीजिए `a` एक अपरिमेय संख्या हे। यदि `-a` एक अपरिमेय संख्या नही है तो `-a` एक परिमेय संख्या होगी, क्योंकि यह एक वास्तविक संख्या तो है ही परंतु
`-(-a)=a`
जो एक अपरिमेय संख्या है।
हम जानते है कि ऋण संख्या परिमेय संख्या होती है। इसलिए `-(-a)` भी परिचय संख्या होगी।
इस अन्तर्विरोध से यह सिद्ध होता है कि हमारी मान्यता कि `-a` अपरिमेय नहीं हैं, असत्य है, अतः इससे परिणाम सिद्ध हो जाता है।
(ii) मान लीजिए `a` परिमेय संख्या और `b` अपरिमेय संख्या है
यदि `a+b` अपरिमेय संख्या नही है तो `a+b` अवश्य ही परिमेय संख्या होगी। अब यदि परिमेय संख्या``a+b` में से परिमेय संख्या `a`को घटा दें तो शेषफल भी परिमेय संख्या होगी। परंतु
`(a+b)-a=b` जो एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) मान लीजिए `a` एक शून्येतर परिमेय संख्या है और `b` एक अपरिमेय संख्या है।
यदि `a.b` अपरिमेय संख्या नहीं हो तो अवश्य ही `a.b` एक परिमेय संख्या है।
अब परिमेय संख्या `a.b` को शून्येतर परिमेय संख्या `a` से भाग देने पर परिमेय संख्या ही प्राप्त होगी। परंतु `a.b` को `a` से भाग देने पर `b` प्राप्त होता है, जिसे एक अपरिमेय संख्या माना गया है।
इस अन्तर्विरोध से परिणाम सिद्ध हो जाता है।