दो परिमेय संख्याओं का योगफल और गुणनफल सदैव एक परिमेय संख्या होता है। परंतु दो अपरिमेय संख्याओं का न तो योगफल और न ही गुणनफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।

Explanation

हमें ज्ञात है कि `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है अत: `-sqrt(3)` भी एक अपरिमेय संख्या हैं उनका योगफल `sqrt(2)+(-sqrt(2))=0` जोकि एक परिमेय संख्या है।
इसी प्रकार `sqrt(2)` और `sqrt(2)` का गुणनफल `sqrt(2).sqrt(2)=(sqrt(2))^(2)=2` जोकि एक परिमेय संख्या है। पहली दशा में दो अपरिमेय संख्याओं का योगफल एक परिमेय संख्या है और दूसरी दशा में दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल एक परिमेय संख्या है।
दूसरी ओर, दो अपरिमेय संख्याओं `sqrt(2)` तथा `sqrt(3)` का योगफल `sqrt(2)+sqrt(3)` है जोकि एक अपरिमेय संख्या है।
यह सिद्ध करने के लिए कि `sqrt(2)+sqrt(3)` अपरिमेय संख्या हैं मान लीजिए कि `sqrt(2)+sqrt(3)` अपरिमेय नहीं है तो `sqrt(2)+sqrt(3)` अवश्य ही परिमेय संख्या होगी और क्योंकि परिमेय संख्या का वर्ग परिमेय संख्या होता है अतः `(sqrt(2)+sqrt(3))^(2)` भी परिमेय संख्या होगी।
अब `sqrt(2)+sqrt(3))^(2)=2+3+2sqrt(2)sqrt(3)`एक परिमेय संख्या है अतः `5+2sqrt(6)` भी एक परिमेय संख्या है। क्योंकि `sqrt(6)` अपरिमेय हैं, इसलिए `2sqrt(6)` भी अपरिमेय है। अब 5 परिमेय संख्या है और `2sqrt(6)` अपरिमेय अतः उनका योगफल `5+2sqrt(6)` भी अपरिमेय संख्या है।
इससे यह पता चलता है कि `(sqrt(2)+sqrt(3))^(2)` एक अपरिमेय संख्या है।
यह एक अन्तर्विरोध है अतः `sqrt(2)+sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।
फिर दो अपरिमेय संख्याओं `sqrt(2)` और `sqrt(3)` का गुणनफल `sqrt(2).sqrt(3)=sqrt(6)` जोकि एक अपरिमेय संख्या है।
इस प्रकार हमने दिखाया है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योगफल या गुणनफॅल कुछ दशाओं में परिमेय और कुछ में अपरिमेय संख्या होती है।