एक रेखाखण्ड है तथा P और Q और इस रेखाखण्ड AB के विपरीत और इस प्रकार है की इनमे से प्रतियेक A और B से संदुरस्ताः है (देखिये आकृति) दर्शाइए की रेखा PQ रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक है

Explanation

दिया है PA=PB
तथा `QA=QB`
सिद्ध करना है, रेखा PQ रेखाखण्ड AB को समद्विभाजक करता है अर्थार्त `PQ bot AB` अब `trianglePAQ "और" triangle PBQ` में
AP=BP (दिया है)
AQ=BQ (दिया है)
PQ=PQ (उबयनिष्ट)
अंत: `trianglePAQ cong trianglePBQ` (S.S.S नियम)
इसलिए `angleAPQ=angleBPQ` (स o त्रि o स o अ o )
`trianglePAC और trianglePBC` में,
AP=BP (दिया है)
`angleAPC=angleBPC (angleAPQ=angleBPQ` ऊपर सिद्ध किया है)
PC=PC (उभयनिष्ट)
अंत: `trianglePAC cong trianglePBC` (S.A.S नियम)
इसलिए AC=BC (स o त्रि o स o अ o )....(1)
और `angleACP=angleBCP` (स o त्रि o स o अ o )
साथ ही, `angleACP+angleBCP=180^(@)` (रेखिक रयुग्म)
इसलिए `2angleACP=180^(@)`
`angleACP=90^(@)`
अंत: समीकरण (1) और (2) से, रेखा PQ रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक है